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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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7. Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
j) f(x)=x4−xf(x)=x \sqrt{4-x}

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones. 1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) El dominio de ff es (−∞,4](-\infty, 4] 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: No hay candidatos a asíntota vertical (fijate que en x=4x=4 tenemos corchete, está incluido dentro del dominio! por eso no es candidato, a diferencia de lo que nos ha pasado en otros items de este mismo ejercicio)
- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando xx tiende a −∞- \infty

lim⁡x→−∞ x4−x=−∞\lim_{x \to -\infty} x \sqrt{4-x} = -\infty

Por lo tanto, ff no tiene asíntota horizontal.
3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=4−x+x⋅−124−x f'(x) = \sqrt{4 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}}

f′(x)=4−x−x24−x f'(x) = \sqrt{4 - x} - \frac{x}{2\sqrt{4 - x}}
4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:
 4−x−x24−x=0 \sqrt{4 - x} - \frac{x}{2\sqrt{4 - x}} = 0

 4−x=x24−x \sqrt{4 - x} = \frac{x}{2\sqrt{4 - x}}

4−x=x2 4 - x = \frac{x}{2}

8−2x=x8 - 2x = x

8=3x8 = 3x

x=83 x = \frac{8}{3}

Por lo tanto, x=83 x = \frac{8}{3} es punto crítico. 
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<83 x < \frac{8}{3} b) 83<x≤4 \frac{8}{3} < x \leq 4
6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos:

a) Para x< 83x < \frac{8}{3}
f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. b) Para 83 <x≤4\frac{8}{3} < x \leq 4
f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente. Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: 

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Benjamin
21 de mayo 14:50
el raiz de 4-x cuando lo pasas a la izquierda, como haces para que se le vaya la raiz
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 19:50
@Benjamin Porque fijate que pasé multiplicando el 4−x\sqrt{4-x} del denominador, entonces quedó:

4−x⋅ 4−x=(4−x)2=4−x\sqrt{4-x} \cdot \sqrt{4-x} = (\sqrt{4-x})^2 = 4 - x
0 Responder
Benjamin
22 de mayo 8:16
ahh okok
0 Responder